Catenary

悬链线数学表达式的证明

　　

　　如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m,受力分析有： 　　Tsinθ=mg； 　　Tcosθ=H， 　　tanθ=dy/dx=mg/H， 　　mg=ρs，，　其中s是右段AB绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx; 　　所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1) 　　对于(1)设p=dy/dx微分处理 　　得 p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2) 　　p'=dp/dx; 　　对（2）分离常量求积分 　　∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx 　　得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C 　　当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0； 　　整理得asinhp=ρx/H 另祥解： （ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H）； 　　p=sh(ρx/H) （1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2）； 　　(p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx)； 　　y=ch (ρx/H)* H / ρ （y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ）； 　　令a=H/ρ： y=a*cosh (x/a) 　　(y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。